2015年高考理数真题试卷（福建卷）

更新时间：2016-08-16 浏览次数：764 类型：高考真卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 1．若集合 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是虚数单位）， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于 ( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 下列函数为奇函数的是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 若双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点P在双曲线E上，且 $\text{[math]}$ =3，则 $\text{[math]}$ 等于（　）

A . 11 B . 9 C . 5 D . 3

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4. 为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y（万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )

A . 11.4万元 B . 11.8万元 C . 12.0万元 D . 12.2万元

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5. 若变量x，y 满足约束条件 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的最小值等于 ( )

A . $\text{[math]}$ B . -2 C . $\text{[math]}$ D . 2

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6.
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )

A . 2 B . 1 C . 0 D . -1

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7. 若 $\text{[math]}$ ， m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ " 的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. 若a，b 是函数 $\text{[math]}$ 的两个不同的零点，且a，b，-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q 的值等于（）

A . 6 B . 7 C . 8 D . 9

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9. 已知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =t若P 点是 $\text{[math]}$ 所在平面内一点，且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ · $\text{[math]}$ 的最大值等于（）

A . 13 B . 15 C . 19 D . 21

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10. 若定义在R上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ =-1，其导函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则下列结论中一定错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应的位置

11. $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数等于．（用数字作答）

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12. 若锐角 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，且AB=5，AC=8，则BC等于。

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13.
如图，点A的坐标（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f(x)= $\text{[math]}$ ，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 .

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14. 若函数 $\text{[math]}$ （a＞0且a≠1）的值域[4，+ $\text{[math]}$ ），则实数a的取值范围是。

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15. 一个二元码是由0和1组成的数字 $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ 称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某中二元码 $\text{[math]}$ 的码元满足如下校验方程组： $\text{[math]}$ 其中运算 $\text{[math]}$ 定义为： $\text{[math]}$ 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于。

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三、解答题：本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

16. 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
1. （1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
2. （2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
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17.
如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.

(Ⅰ)求证：BE//平面ADE ；

(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.

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18.
已知椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）过点（0， $\text{[math]}$ ），且离心率为 $\text{[math]}$ 。
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
（II）设直线x my 1，(m R)交椭圆E与A，B两点，判断点G（- $\text{[math]}$ ， 0）与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由。

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19. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图像是由函数 $\text{[math]}$ 的图像经如下变换得到：先将 $\text{[math]}$ 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度.
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的解析式，并求其图像的对称轴方程；
2. （2）已知关于X的方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内有两个不同的解 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  (1)求实数M的取值范围：
  （2）证明： $\text{[math]}$ 。
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四、选考题：每小题7分，任选两题作答，共14分

20.
已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的最小值为4．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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21. 选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 $\text{[math]}$ .在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为 $\text{[math]}$
1. （1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
2. （2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
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22. 本题设有三个选考题，请考生任选2题作答.
选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵 $\text{[math]}$
1. （1）求A的逆矩阵 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求矩阵C，使得AC=B.
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