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小学奥数系列8-5-1操作与策略

更新时间：2021-05-20 浏览次数：290 类型：竞赛测试

一、

1. 尤拉想出一个数，将它乘以13，删去乘积的末位数，将所得的数再乘以7，再删去乘积的末位数，最终得到的数为21．问：尤拉最初所想的是哪一个数？

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2. 有足够多的盒子依次编号0，1，2，…，只有0号是黑盒，其余的都是白盒．开始时把10个球放入白盒中，允许进行这样的操作：如果 $\text{[math]}$ 号白盒中恰有 $\text{[math]}$ 个球，可将这 $\text{[math]}$ 个球取出，并给0号、1号、…， $\text{[math]}$ 号盒中各放1个．如果经过有限次这样的操作后，最终把10个球全放入黑盒中，那么4号盒中原有个球．

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3. 圆周上放有 $\text{[math]}$ 枚棋子，如图所示， $\text{[math]}$ 点的那枚棋子紧邻 $\text{[math]}$ 点的棋子．小洪首先拿走 $\text{[math]}$ 点处的1枚棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这样连续转了10周，9次越过 $\text{[math]}$ ．当将要第10次越过 $\text{[math]}$ 处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子．若 $\text{[math]}$ 是14的倍数，请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子？

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4. 一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚，我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色（填黑或者白）

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5. 今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币和真币的重量不同．现需弄清楚伪币究竟比真币轻还是重、但只有一架没有砝码的天平，那么怎样利用这架天平称两次，来达到目的？

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6. 9个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?

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7. (巴蜀) 有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水？

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8. 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2；如果是奇数则加1. 如此进行直到为1操作停止. 求经过9次操作变为1的数有多少个？

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9. 对于任意一个自然数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为奇数时，加上 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 为偶数时，除以 $\text{[math]}$ ，这算一次操作．现在对 $\text{[math]}$ 连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现 $\text{[math]}$ ？为什么？

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10. 小牛对小猴说：“对一个自然数 $\text{[math]}$ 进行系列变换：当 $\text{[math]}$ 是奇数时，则加上2007；当 $\text{[math]}$ 是偶数时，则除以2．现在对2004连续做这种变换，变换中终于出现了数2008．”小猴说：“你骗人！不可能出现2008．”请问：小牛和小猴谁说得对呢？为什么？

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11. 有依次排列的3个数：2，0，5，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2， $\text{[math]}$ ，0，5，5，这称为第一次操作，第二次同样的操作后也可产生一个新数串：2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，2，0，5，5，0，5．继续依次操作下去．问：从新数串2，0，5开始操作，第100次后产生的那个新数串的所有数之和是多少？

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12. 将两个不同的自然数中较大数换成这两个数之差，称为一次操作．如对18和42可连续进行这样的操作，则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，．直到两数相同为止．试给出和最小的两个四位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15．这两个四位数是与．

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13. 在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？

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14. 先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：6 2 8 1 0 1 1 2 3 ……则这个整数的数字之和是。

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15. 有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根．甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴．每次至少要取走一根火柴．谁取得最后一根火柴谁胜．如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？

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16. 黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51．甲、乙两人轮流划掉连续的3个数．规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜．问：甲有必胜的策略吗？

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17. 两个人从1开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报1～5个数，谁先报到50谁获胜．你选择先报数还是后报数？怎样才能获胜？

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18. 对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换．如对18和42可作这样的连续变换：18，42→18，24→18，6→12，6→6，6直到两数相同为止．问：对1234和4321作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是．

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19. 一个特别的计算器，只有蓝、红、黄三个键．蓝键为“输入/删除”键（按它一下可输入一个数，再按它一下则将显示屏上的数删除）．每按一个红键，则显示屏上的数变为原来的2倍；每按一下黄键，则显示屏上的数的末位自动消失．现在先按蓝键输入21．
请你设计一个操作过程，要求：⑴操作过程中只能按红键和黄键；⑵按键次数不超过6次；⑶最后输出的数是3．

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20. 在黑板上写上 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、……、 $\text{[math]}$ ，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，然后写上它们的差（大数减小数），直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？

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21. 1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7个格．规定将棋子移到最后一格者输．甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？

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22. 一个工厂有7个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品．每个车间装卸货物所需工人数为25、18、27、10、20、15、30．若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安排多少名装卸工，所用总人数最合理？

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23. 向电脑输入汉字，每个页面最多可输入1677个五号字．现在页面中有1个五号字，将它复制后粘贴到该面上，就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得到4个字．每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作次．

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24. 30粒珠子依8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、 $\text{[math]}$ 的次序串成一圈．一只蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上．这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上．

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25. 桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根．规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？

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26. 北京、上海分别有10台和6台完全相同的机器，准备给武汉11台，西安5台，每台机器的运费如右表，如何调运能使总运费最省？

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