江苏省常州市2021届高三下学期数学一模试卷

更新时间：2021-06-26 浏览次数：164 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2021·常州模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为全集，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021·常州模拟) 设 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. (2020高一上·贵州期末) 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021·常州模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2021·常州模拟) 过圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 外一点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线，切点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3

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6. (2021·常州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，为了得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，只需（）

A . 先将函数 $\text{[math]}$ 图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移 $\text{[math]}$ 个单位 B . 先将函数 $\text{[math]}$ 图象上点的横坐标变为原来的 $\text{[math]}$ ，再向右平移 $\text{[math]}$ 个单位 C . 先将函数 $\text{[math]}$ 图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，再将点的横坐标变为原来的 $\text{[math]}$ D . 先将函数 $\text{[math]}$ 图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍

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7. (2021·常州模拟) 已知长方体 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离与到平面 $\text{[math]}$ 的距离相等，则 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上的轨迹是（）

A . 线段 B . 椭圆一部分 C . 抛物线一部分 D . 双曲线一部分

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8. (2021·常州模拟) 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、……，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被3整除的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2021·常州模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 所在平面内一点，则下列正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的中位线上 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为锐角三角形 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积比为 $\text{[math]}$

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10. (2023高二下·浙江期中) 函数 $\text{[math]}$ 的所有极值点从小到大排列成数列 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，则下列结论中正确的是（）

A . 数列 $\text{[math]}$ 为等差数列 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2021·常州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列选项中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减 B . $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立 C . $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个单调递减区间 D . $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个极小值点

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12. (2024高三上·四川模拟) 已知曲线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 满足方程 $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值为1，最小值为 $\text{[math]}$ C . 曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴所围成的封闭图形的面积和为 $\text{[math]}$ D . 若平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三个不同的点，其横坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2021·常州模拟) 已知一组数据 $\text{[math]}$ 的平均数为3（其中 $\text{[math]}$ ），则中位数为．

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14. (2021·常州模拟) $\text{[math]}$ 展开式中的常数项为．

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15. (2021·常州模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为等边三角形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值是．

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16. (2021·常州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. (2021·常州模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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18. (2021·常州模拟) 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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19. (2021·常州模拟) 在矩形ABCD中，BC=2AB=2，取BC边上一点M ，将△ABM沿着AM折起，如图所示形成四棱锥S- AMCD.
1. （1）若M为BC的中点，二面角S-AM-B的大小为 $\text{[math]}$ ，求AS与平面ABCD所成角的正弦值；
2. （2）若将△ABM沿着AM折起后使得SD⊥AM ，求线段MC的长.
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20. (2021·常州模拟) 调查某种新型作物A在某地的耕种状况与农民收入的关系，现在当地农户中随机选取了300户农民进行了统计，发现当年收入水平提高的农户占 $\text{[math]}$ ，而当年选择耕种A作物的农户占 $\text{[math]}$ ，既选择A作物又收入提高的农户为180户．

（1）完成下面 $\text{[math]}$ 列联表，并分析是否有97.5%的把握认为种植A作物与收入提高有关；

	种植A作物的数量	未种植A作物的数量	合计
收入提高的数量
收入未提高的数量
合计

附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

P（K²≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（2）某农户决定在一个大棚内交替种植 $\text{[math]}$ 三种作物，为了保持土壤肥度，每种作物都不连续种植．开始时选择A作物种植，后因习惯，在每次种植 $\text{[math]}$ 后会有 $\text{[math]}$ 的可能性种植 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的可能性种植C；在每次种植 $\text{[math]}$ 的前提下再种植 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ ，种植 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ ；在每次种植C的前提下再种植 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ ，种植 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ ．若仅种植三次，求种植A作物次数 $\text{[math]}$ 的分布列及期望．

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21. (2021·常州模拟) 已知F₁ ， F₂是椭圆E₁： $\text{[math]}$ （a>b>0）的左、右焦点，曲线E₂： y²=4x的焦点恰好也是F₂ ， O为坐标原点，过椭圆E₁的左焦点F₁作与x轴垂直的直线交椭圆于M ， N ，且△MNF₂的面积为3.
1. （1）求椭圆E₁的方程；
2. （2）过F₂作直线l交E₁于A ， B ，交E₂于C ， D ，且△ABF₁与△OCD的面积相等，求直线l的斜率.
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22. (2021·常州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1） $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的最大值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值集合；
3. （3）令 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 做曲线 $\text{[math]}$ 的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证点 $\text{[math]}$ 一定在第一象限内．
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