百师联盟2022届高三下学期理数2月开年摸底联考全国卷1

更新时间：2022-03-24 浏览次数：76 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数z满足 $\text{[math]}$ （i为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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3. 若 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 4 C . 32 D . 33

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5. 公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植126棵观赏树，若1至6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前3个区域共种植14棵，则第5个区域种植的观赏树棵数为（）

A . 16 B . 28 C . 32 D . 64

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6. 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中常数项为61，则 $\text{[math]}$ （）

A . ±2 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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7. 建在水源不十分充足的地区的火电厂为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统（冷却塔），以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用．下图是世界最高的电厂冷却塔——中国国家能源集团胜利电厂冷却塔，该冷却塔高225米，创造了“最高冷却塔”的吉尼斯世界纪录．该冷却塔的外形可看作双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图：已知直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为该双曲线的两条渐近线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 向上的方向所成的角的正切值为 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . 5 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面正方形的中心）P-ABCD中， $\text{[math]}$ ，点E为PB中点，若CE与PD所成的角余弦值为 $\text{[math]}$ ，则四棱锥P-ABCD的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知D，E为 $\text{[math]}$ 所在平面内的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -3 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位后得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，若 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的可能取值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . π

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11. 已知直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点A，B在准线上的射影分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和取得最大值时， $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 53 B . 49 C . 49或53 D . 49或51

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二、填空题

13. 已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 最小值为.

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14. 小明用某款手机性能测试app对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，x，y，93，95，97，99，已知总体的中位数为90，若要使该总体的标准差最小，则 $\text{[math]}$ .

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15. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若三棱锥的外接球体积为 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为.

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象上存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为自然对数的底数)，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角C；
2. （2） E为三角形ABC所在平面内的一点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求线段CE的长.
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18. 在东京奥运会中，甲，乙、丙三名跳水远动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为 $\text{[math]}$ ，乙、丙晋级的概率均为 $\text{[math]}$ ，且三人是否晋级相互对立.
1. （1）若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，记三个人中晋级的人数为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 时的概率和 $\text{[math]}$ 时的概率相等，求 $\text{[math]}$ .
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19. 如图，四棱柱 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值.
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且过左焦点和上顶点的直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，且直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率之和为0.求三角形 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线互相平行，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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22. 在平面直角坐标系：xOy中，直线l的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数， $\text{[math]}$ ），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线C的直角坐标方程；
2. （2）点 $\text{[math]}$ ，直线l与曲线C交于A，B两点，若 $\text{[math]}$ ，求直线l的普通方程．
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23. (2022·许昌模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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