湖南省衡阳市2022届高三下学期数学二模试卷

更新时间：2022-05-12 浏览次数：90 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2022·衡阳二模) 设集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022·衡阳二模) 已知复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . -2 C . 2 D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·嘉定期中) 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）

A . 中位数 B . 平均数 C . 方差 D . 极差

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4. (2022·衡阳二模) 设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是空间中两条不同的直线， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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5. (2022·衡阳二模) 某学校安排音乐､阅读､体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲､乙､丙､丁4位同学每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2022·衡阳二模) 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m²＋n＝4，则 $\text{[math]}$ ＝（）

A . 8 B . 4 C . 2 D . 1

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7. (2022·衡阳二模) 设 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边，已知 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点，且 $\text{[math]}$ 的面积为1，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . -2

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8. (2022·衡阳二模) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数 $\text{[math]}$ 恒有 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的零点个数为（）

A . 4个 B . 5个 C . 3个或4个 D . 4个或5个

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二、多选题

9. (2022·衡阳二模) 下列结论中正确的是（）

A . 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是等腰三角形 C . 两个向量 $\text{[math]}$ 共线的充要条件是存在实数，使 $\text{[math]}$ D . 对于非零向量 $\text{[math]}$ ， “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的充分不必要条件

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10. (2022·衡阳二模) 函数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示､将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到 $\text{[math]}$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 为奇函数 B . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减 C . 函数 $\text{[math]}$ 为偶函数 D . 函数 $\text{[math]}$ 的图象的对称轴为直线 $\text{[math]}$

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11. (2022·衡阳二模) 圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 在第一象限上的点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 延长线上，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的平分线，则下列正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的角平分线所在直线的倾斜角为150°

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12. (2022·衡阳二模) 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点.下列说法正确的是（）

A . 点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ B . 正方体 $\text{[math]}$ 外接球的体积为 $\text{[math]}$ C . 面 $\text{[math]}$ 截正方体 $\text{[math]}$ 外接球所得圆的面积为 $\text{[math]}$ D . 以顶点 $\text{[math]}$ 为球心， $\text{[math]}$ 为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2022·衡阳二模) 二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中常数项是.

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14. (2022·衡阳二模) 函数 $\text{[math]}$ ，则曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为.

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15. (2022·衡阳二模) 意大利数学家列昂那多 $\text{[math]}$ 斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，此数列在现代物理“准晶体结构”､化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以3的余数构成一个新数列 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前2022项的和为.

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16. (2022·衡阳二模) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 有相同的焦点 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的第一象限的交点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. (2022·衡阳二模) 已知数列 $\text{[math]}$ 是递增的等差数列， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等比中项.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2） ① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ .
  从上面三个条件中任选一个，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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18. (2022·衡阳二模) 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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19. (2022·衡阳二模) 如图，已知圆台 $\text{[math]}$ 的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的角为 $\text{[math]}$ 为母线，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点时，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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20. (2022·衡阳二模) 随着近期我国不断走向转型化进程以及社会就业压力的不断加剧，创业逐渐成为在校大学生和毕业大学生的一种职业选择方式.但创业过程中可能会遇到风险，有些风险是可以控制的，有些风险不可控制的，某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策：已知创业项目甲成功的概率为 $\text{[math]}$ ，项目成功后可获得政府奖金20万元：创业项目乙成功的概率为 $\text{[math]}$ ，项目成功后可获得政府奖金30万元：项目没有成功则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励.
1. （1）大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为 $\text{[math]}$ （单位：万元），若 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的大小：
2. （2）若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的数学期望最大？
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21. (2022·衡阳二模) 设椭圆 $\text{[math]}$ 的左顶点为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ .已知椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆的方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上异于点 $\text{[math]}$ 的两动点，若直线 $\text{[math]}$ 的斜率之积为 $\text{[math]}$ .
  ①证明直线 $\text{[math]}$ 恒过定点，并求出该点坐标；
  ②求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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22. (2022·衡阳二模) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的极值；
2. （2）设 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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