广东省深圳市宝安区2023-2024学年高二（上）期末数学试...

更新时间：2024-03-28 浏览次数：19 类型：期末考试

一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. (2024高二上·宝安期末) 已知直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，则直线的倾斜角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高二上·宝安期末) 直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 平行，则直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的位置关系是（）

A . 重合 B . 平行 C . 平行或重合 D . 相交

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3. (2024高二上·宝安期末) 已知 $\text{[math]}$ 表示的曲线是圆，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高二上·宝安期末) 不论m取何值，直线 $\text{[math]}$ 都过定点( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高二上·宝安期末) 已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，则圆 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 对称的圆的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高二上·宝安期末) 下列说法正确的是（）

A . 零向量没有方向 B . 空间向量不可以平行移动 C . 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D . 同向且等长的有向线段表示同一向量

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7. (2024高二上·宝安期末) 若 $\text{[math]}$ 是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 为常数 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高二上·宝安期末) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，延长 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. (2024高二上·宝安期末) 下面说法中错误的是（）

A . 经过定点 $\text{[math]}$ 的直线都可以用方程 $\text{[math]}$ 表示 B . 经过定点 $\text{[math]}$ 的直线都可以用方程 $\text{[math]}$ 表示 C . 经过定点 $\text{[math]}$ 的直线都可以用方程 $\text{[math]}$ 表示 D . 经过任意两个不同的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的直线都可以用方程 $\text{[math]}$ 表示

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10. (2024高二上·宝安期末) 若双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点 $\text{[math]}$ ，且渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ C . 焦点到渐近线的距离为 $\text{[math]}$ D . 两准线间的距离为 $\text{[math]}$

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11. (2024高二上·宝安期末) 瑞士数学家欧拉 $\text{[math]}$ 年在其所著的 $\text{[math]}$ 三角形的几何学 $\text{[math]}$ 一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其欧拉线方程为 $\text{[math]}$ ，则顶点 $\text{[math]}$ 的坐标可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2024高二上·宝安期末) 等差数列 $\text{[math]}$ 是递增数列，满足 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，下列选择项正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 最小 D . $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. (2024高二上·宝安期末) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是平行四边形，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2024高二上·宝安期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的一条渐近线方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点， $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. (2024高二上·宝安期末) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交准线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的纵坐标为．

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16. (2024高二上·宝安期末) 过椭圆的右焦点 $\text{[math]}$ 作椭圆长轴的垂线，交椭圆于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为椭圆的左焦点，若 $\text{[math]}$ 为正三角形，则该椭圆的离心率为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (2024高二上·宝安期末) 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和．
1. （1）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，证明： $\text{[math]}$ 是等差数列；
2. （2）记 $\text{[math]}$ 为等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ，求公差 $\text{[math]}$ ．
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18. (2024高二上·宝安期末) 已知 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 和定点 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 外一点 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 引切线 $\text{[math]}$ ，切点为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求动点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求线段 $\text{[math]}$ 长的最小值．
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19. (2024高二上·宝安期末) 如图所示，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两垂直，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值．
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20. (2024高二上·宝安期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是过抛物线 $\text{[math]}$ 焦点 $\text{[math]}$ 且互相垂直的两弦．
1. （1）若直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为 $\text{[math]}$ 度，求 $\text{[math]}$ 弦长；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值．
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21. (2024高二上·宝安期末) 已知正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的动点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，试确定 $\text{[math]}$ 点的位置．
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22. (2024高二上·宝安期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，一个焦点 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点重合．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称，证明：直线 $\text{[math]}$ 恒过一定点．
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