浙江省丽水市五校2023-2024学年高一下学期数学期中考试...

更新时间：2024-07-04 浏览次数：6 类型：期中考试

一、选择题

1. 若复数z满足 $\text{[math]}$ (i为虚数单位)，则z的虚部为( )

A . 0 B . 1 C . -1 D . $\text{[math]}$

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2. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为非零向量，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的( )

A . 充要条件 B . 充分不必要条件 C . 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 在空间几何中下列说法正确的是( )

A . 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B . 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C . 过一点有且只有一个平面与已知直线平行 D . 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直

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4. 已知在 $\text{[math]}$ 中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的高等于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为( )

A . $\text{[math]}$ B . 9 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知点O为 $\text{[math]}$ 所在平面内一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为( )

A . 直角三角形 B . 等腰三角形 C . 等边三角形 D . 等腰直角三角形

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6. 已知m、n为异面直线， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，若直线l满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则( )

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 直线r ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 直线r ， $\text{[math]}$

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7. 已知A、B、C三点在以O为圆心， 1 为半径的圆上运动，且 $\text{[math]}$ ， M为圆O所在平面内一点，且 $\text{[math]}$ ，则下列结论错误的是( )

A . $\text{[math]}$ 的最小值是1 B . $\text{[math]}$ 为定值 C . $\text{[math]}$ 的最大值是10 D . $\text{[math]}$ 的最小值是8

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8. 设A、B、C是函数 $\text{[math]}$ 与数函 $\text{[math]}$ 的图象连续相邻的三个交点，若 $\text{[math]}$ 是锐角三角形，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题

9. 已知针角 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则下列命题中正确的是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 若复数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ (i为虚数单位)，则下列结论正确的是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 2 ，点P是 $\text{[math]}$ 的中点，点M是正方体内(含表面) 的动点，且满足 $\text{[math]}$ ，下列选项正确的是( )

A . 动点M在侧面 $\text{[math]}$ 内轨迹的长度是 $\text{[math]}$ B . 三角形 $\text{[math]}$ 在正方体内运动形成几何体的体积是2 C . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$ D . 存在某个位置M ，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$

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三、填空题

12. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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13. 高为1的圆锥，侧面积为 $\text{[math]}$ ，则过其顶点的截面面积最大值为.

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14. 已知在锐角 $\text{[math]}$ 中，三个内角A、B、C的对边分别为a ， b ， c ， $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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四、解答题

15. 已知在 $\text{[math]}$ 中，三个内角A 、B、C的对边分别为a、b、c ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 求b；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ .
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16. 如图在三棱台 $\text{[math]}$ 中，等腰梯形 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求三棱台 $\text{[math]}$ 的体积；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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17. 欧拉公式： $\text{[math]}$ (i为虚数单位， $\text{[math]}$ )，是由瑞土著名数学家欧拉发现的。它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”.
1. （1）根据欧拉公式计算 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的值域.
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18. 如图在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E ， F分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上的动点(包含端点)，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$
  ①请用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$
  ②设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点G ，求 $\text{[math]}$ .
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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19. “风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有 2000 多年的历史。相传在东周春秋时期，墨翟以木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源。后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”。到南北朝时，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来䄇糊风筝；到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动。风筝主要由骨架、风筝面、尾翼、提线、放飞线五部分组成。如图(1)就是一个由菱形的风筝面 $\text{[math]}$ 和两个直角三角形尾翼 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所组成的风筝。其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .现将此风筝的两个尾翼分别沿 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 折起，使得P与点Q重合于点S ，并连结 $\text{[math]}$ ，得到如图(2)所示的四棱锥 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
2. （2）若E为棱 $\text{[math]}$ 上一点，记 $\text{[math]}$ .
  ①若 $\text{[math]}$ 求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值；
  ②是否存在点E使得直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，若存在请求出 $\text{[math]}$ 的值，若不存在请说明理由.
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