广西钦州市示范性高中2025届高三开学考试数学试题

更新时间：2024-12-26 浏览次数：0 类型：开学考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2024高三上·钦州开学考) 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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2. (2024高三上·平南月考) 下列四个命题中，是真命题的为（）

A . 任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ B . 任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ C . 存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ D . 存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·平南月考) 若 $\text{[math]}$ 都为非零向量，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高三上·钦州开学考) 下列命题中正确的是( )

A . 一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数 B . 对一组数据 $\text{[math]}$ ，如果将它们变为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则平均数和标准差均发生改变 C . 有甲､乙､丙三种个体按 $\text{[math]}$ 的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 D . 若随机变量X服从正态分布 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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5. (2024高三上·平南月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程是

A . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ） B . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ） C . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ） D . $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）

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6. (2024高三上·钦州开学考) 函数 $\text{[math]}$ 图象的大致形状是（）

A . B . C . D .

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7. (2024高三上·钦州开学考) 2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟教授等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”（命名为“九章”是为了纪念中国古代最早的数学专著《九章算术》），求解数学算法高斯玻色取样只需200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上衰二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽 $\text{[math]}$ 丈，长 $\text{[math]}$ 丈，上棱 $\text{[math]}$ 丈， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 平行． $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的距离为1丈，则它的体积是（）

A . 4立方丈 B . 5立方丈 C . 6立方丈 D . 8立方丈

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8. (2024高三上·钦州开学考) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. (2024高三上·南宁开学考) 若函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的最小正周期为10 B . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有最小值 D . $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称

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10. (2024高三上·平南月考) 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 作直线交抛物线于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作抛物线的切线 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆与直线 $\text{[math]}$ 相切 D . 当 $\text{[math]}$ 最小时，切线 $\text{[math]}$ 与准线的交点坐标为 $\text{[math]}$

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11. (2024高三上·钦州开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，将函数 $\text{[math]}$ 的图象先关于 $\text{[math]}$ 轴对称，然后再向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 函数 $\text{[math]}$ 为奇函数 D . 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. (2024高三上·钦州开学考) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2024高三上·钦州开学考) 已知角 $\text{[math]}$ 的终边过点P（1，2），则 $\text{[math]}$ .

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14. (2024高三上·钦州开学考) 某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序．则第一局比赛高一获胜的概率为，在一场比赛中高一获胜的概率为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (2024高三上·钦州开学考) 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角A的大小；
2. （2） D是线段 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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16. (2024高三上·平南月考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 既存在极大值，又存在极小值，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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17. (2024高三上·平南月考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ，过棱 $\text{[math]}$ 的中点E作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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18. (2024高三上·钦州开学考) 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 $\text{[math]}$ ，且不同对阵的结果相互独立.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
  ①求甲获得第四名的概率；
  ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
2. （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
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19. (2024高三上·钦州开学考) 牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个零点，任意选取 $\text{[math]}$ 作为 $\text{[math]}$ 的初始近似值，过点 $\text{[math]}$ 作曲线 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为横坐标为 $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的1次近似值，过点 $\text{[math]}$ 作曲线 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为横坐标为 $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的2次近似值．一般地，过点 $\text{[math]}$ 作曲线 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为横坐标为 $\text{[math]}$ ，就称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 次近似值，称数列 $\text{[math]}$ 为牛顿数列．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 的零点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请用牛顿切线法求 $\text{[math]}$ 的2次近似值；
2. （2）已知二次函数 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的牛顿数列，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
  （ⅰ）设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的解析式；
  （ⅱ）证明： $\text{[math]}$
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