重庆市第八中学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学...

更新时间：2025-01-02 浏览次数：5 类型：期末考试

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1. (2024高二下·重庆市期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高二下·重庆市期末) 函数 $\text{[math]}$ 的图象在点 $\text{[math]}$ 处的切线的倾斜角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高二下·重庆市期末) 设随机变量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 4 C . 12 D . 13

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4. (2024高二下·重庆市期末) 如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：能够将圆 $\text{[math]}$ 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆 $\text{[math]}$ 的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（）

A . 对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B . 函数 $\text{[math]}$ 可以是某个圆的“太极函数” C . 函数 $\text{[math]}$ 可以是某个圆的“太极函数” D . $\text{[math]}$ 是“太极函数”的充要条件为“ $\text{[math]}$ 的图象是中心对称图形”

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5. (2024高二下·重庆市期末) 过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 2

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6. (2024高二下·重庆市期末) 已知甲同学从学校的4个科技类社团，3个艺术类社团，2个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是科技类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高二下·重庆市期末) 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高二下·重庆市期末) 若对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分.

9. (2024高二下·重庆市期末) 函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在同一直角坐标系中的图象可能为（）

A . B . C . D .

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10. (2024高二下·重庆市期末) 某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价 $\text{[math]}$ （元）
40
50
60
70
80
90
销量 $\text{[math]}$ （件）
50
44
43
$\text{[math]}$
35
28
由表中数据，求得线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 产品的销量与单价成负相关 B . 为了获得最大的销售额（销售额 $\text{[math]}$ 单价 $\text{[math]}$ 销量 $\text{[math]}$ ，单价应定为70元或80元 C . $\text{[math]}$ D . 若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为 $\text{[math]}$

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11. (2024高二下·重庆市期末) 已知各项均不为0的数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，对于任意 $\text{[math]}$ 成立，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2024高二下·重庆市期末) 已知 $\text{[math]}$ 的导函数分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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13. (2024高二下·重庆市期末) 已知 $\text{[math]}$ 均为实数且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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14. (2024高二下·重庆市期末) 如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域 $\text{[math]}$ 进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有种.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. (2024高二下·重庆市期末) 设数列 $\text{[math]}$ 是各项均为正实数的等比数列，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）令 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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16. (2024高二下·重庆市期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，对 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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17. (2024高二下·重庆市期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有且只有一个实数根，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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18. (2024高三上·昆明月考) 学校举行数学知识竞赛，分为个人赛和团体赛.
个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出2道判断题 $\text{[math]}$ （判断对错）和4道连线题（由电脑随机打乱给出的四个数学定理 $\text{[math]}$ 和与其相关的数学家 $\text{[math]}$ ，要求参赛者将它们连线配对，配对正确一对数学定理和与其相关的数学家记为答对一道连线题），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功.
团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：
方式一：将班级选派的 $\text{[math]}$ 个人平均分成 $\text{[math]}$ 组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这 $\text{[math]}$ 个小组都闯关成功，则该班级挑战成功.
方式二：将班级选派的 $\text{[math]}$ 个人平均分成2组，每组 $\text{[math]}$ 人，电脑随机分配给同组 $\text{[math]}$ 个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这 $\text{[math]}$ 个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功.
1. （1）在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题的概率.
2. （2）甲同学参加个人赛，他能够答对判断题 $\text{[math]}$ 并且配对正确 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率.
3. （3）在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数 $\text{[math]}$ ，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由.
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19. (2024高二下·重庆市期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，离心率 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）设过点 $\text{[math]}$ 且倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值.
3. （3）如图，过点 $\text{[math]}$ 作两条直线 $\text{[math]}$ 分别与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ .证明点 $\text{[math]}$ 在定直线上.
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