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上海市高桥中学2025届高三第一次阶段性检测数学试题

更新时间：2024-11-08 浏览次数：4 类型：月考试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分）

1. (2024高三上·上海市月考) 若集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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2. (2024高三上·上海市月考) 设抛物线 $\text{[math]}$ 的准线方程为.

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3. (2024高三上·上海市月考) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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4. (2024高三上·上海市月考) 在某项测量中，其测量结果 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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5. (2024高三上·上海市月考) 已知 $\text{[math]}$ ，方程 $\text{[math]}$ 的一个根为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$

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6. (2024高三上·上海市月考) $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对边长分别为 $\text{[math]}$ ，面积为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则角 $\text{[math]}$ .

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7. (2024高三上·上海市月考) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影向量为．

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8. (2024高三上·上海市月考) 若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相切，则实数 $\text{[math]}$ 的值为.

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9. (2024高三上·上海市月考) 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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10. (2024高三上·上海市月考) 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是．

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11. (2024高三上·上海市月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，左焦点为 $\text{[math]}$ ，若椭圆上存在一点 $\text{[math]}$ ，满足线段 $\text{[math]}$ 相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则该椭圆的离心率为．

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12. (2024高三上·上海市月考) a₁＝2，a₂＝4，a₃＝8，a₄＝16，任意b₁ ， b₂ ， b₃ ， b₄∈R，满足{a_i+a_j|1≤i＜j≤4}＝{b_i+b_j|1≤i＜j≤4}，求有序数列{b₁ ， b₂ ， b₃ ， b₄}有对．

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二、选择题（本大题共4小题，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分，满分18分）

13. (2024高三上·上海市月考) 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. (2024高三上·上海市月考) 如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 1，2，3，4），其离心率分别为e_i ．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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15. (2024高三上·上海市月考) 下列命题错误的是（）

A . 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 B . 设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 线性回归直线 $\text{[math]}$ 一定经过样本点的中心 $\text{[math]}$ D . 一个袋子中有 $\text{[math]}$ 个大小相同的球，其中有 $\text{[math]}$ 个黄球、 $\text{[math]}$ 个白球，从中不放回地随机摸出 $\text{[math]}$ 个球作为样本，用随机变量 $\text{[math]}$ 表示样本中黄球的个数，则 $\text{[math]}$ 服从二项分布，且 $\text{[math]}$

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16. (2024高三上·上海市月考) 现定义如下：当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为延展函数.已知当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 均为延展函数，则以下结论（）
（1）存在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有无穷个交点
（2）存在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有无穷个交点

A . （1）（2）都成立 B . （1）（2）都不成立 C . （1）成立（2）不成立 D . （1）不成立（2）成立.

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三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17. (2024高三上·上海市月考) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值，并判断此时 $\text{[math]}$ 的形状.
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18. (2024高三上·上海市月考) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在以点 $\text{[math]}$ 为圆心 $\text{[math]}$ 为直径的半圆 $\text{[math]}$ 上．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．
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19. (2024高三上·上海市月考) 为了解人们是否喜欢跑步，某机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表．
喜欢
不喜欢
合计
男
12
8
20
女
10
10
20
合计
22
18
40
1. （1）根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？
  附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
2. （2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为 $\text{[math]}$ ，张先生跑步上班迟到的概率为 $\text{[math]}$ ．对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司（无论周四是否准时到达公司）．设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X，求X的分布列及数学期望 $\text{[math]}$ ．
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20. (2024高三上·上海市月考) 阿基米德（公元前287年—公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率 $\text{[math]}$ 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ，且椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴上的定点.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上的动点，求三角形 $\text{[math]}$ 面积的最小值，并求此时 $\text{[math]}$ 点坐标；
3. （3）直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同的两点A、B，已知 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为 $\text{[math]}$ ，已知P、M、N三点共线，试探究直线 $\text{[math]}$ 是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
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21. (2024高三上·上海市月考) 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的极值；
2. （2）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
3. （3）若对任意的实数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 总相切，则称函数 $\text{[math]}$ 为“恒切函数”．当 $\text{[math]}$ 时，若函数 $\text{[math]}$ 是“恒切函数”，求证： $\text{[math]}$ ．
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