广西桂林市第十八中学2024-2025学年高二上学期开学考试...

更新时间：2024-11-08 浏览次数：0 类型：开学考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1. (2024高二上·桂林开学考) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高二上·桂林开学考) 在空间直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 的方向量分别为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 异面 D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交

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3. (2024高二上·桂林开学考) 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高二上·桂林开学考) 某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（）

A . B组打分的极差小于A组打分的极差 B . B组打分的中位数为75 C . A组的意见相对一致 D . A组打分的众数为50

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5. (2024高二上·桂林开学考) 函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）

A . B . C . D .

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6. (2024高二上·桂林开学考) 设 $\text{[math]}$ 为单位向量，且 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高二上·桂林开学考) 已知角 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高二上·桂林开学考) 如图，三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，平面 $\text{[math]}$ 将三棱柱分成体积为 $\text{[math]}$ （左为 $\text{[math]}$ ，右为 $\text{[math]}$ ）两部分，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. (2024高二上·桂林开学考) 对于函数 $\text{[math]}$ ，下列选项中正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减 B . $\text{[math]}$ 的图象关于原点对称 C . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最大值为2

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10. (2024高二上·桂林开学考) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最大值是9 D . $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$

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11. (2024高二上·桂林开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是奇函数 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. (2024高二上·桂林开学考) 在如图所示的长方体 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为．

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13. (2024高二上·桂林开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，则实数a的取值范围是.

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14. (2024高二上·桂林开学考) 平面立角坐标系中， $\text{[math]}$ 是单位向量，向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 对任意实数 $\text{[math]}$ 成立，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (2024高二上·桂林开学考) 记 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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16. (2024高二上·桂林开学考) 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
1. （1）求第七组的频率；
2. （2）估计该校的800名男生身高的80%分位数；（保留小数点后一位有效数字）
3. （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件 $\text{[math]}$ ，求样本空间 $\text{[math]}$ 及事件E的概率 $\text{[math]}$ ．
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17. (2024高二上·桂林开学考) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 底面ABCD，E为PC的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面PCD；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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18. (2024高二上·桂林开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 是偶函数.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若方程 $\text{[math]}$ 有解，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）若函数 $\text{[math]}$ ，是否存在实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 的最小值为0？若存在，求出实数 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.
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19. (2024高二上·桂林开学考) 英国数学家泰勒发现了如下公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）．
1. （1）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，若区间 $\text{[math]}$ 满足：当 $\text{[math]}$ 定义域为 $\text{[math]}$ 时，值域也为 $\text{[math]}$ ，则称区间 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“和谐区间”．试问 $\text{[math]}$ 是否存在“和谐区间”？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．
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