专题29 平面向量基本定理及坐标表示-2025年高考数学一轮...

更新时间：2024-12-28 浏览次数：9 类型：一轮复习

一、单选题

1. (2024高三上·哈尔滨期中) 设向量 $\text{[math]}$ ，则（）

A . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的必要条件 B . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的必要条件 C . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的充分条件 D . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的充分条件

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2. 已知向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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3. 正方形 $\text{[math]}$ 的边长是2， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . 5

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4. 已知向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 5 D . 6

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二、填空题

6. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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7. 在边长为1的正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的三等分点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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8. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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三、单选题

9. 给定平面上的一组向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（）

A . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$

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10. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， AD为BC上的高，垂足为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为AB上一点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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四、多选题

11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．以下命题正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则M为 $\text{[math]}$ 的重心 B . 若M为 $\text{[math]}$ 的内心，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， M为 $\text{[math]}$ 的外心，则 $\text{[math]}$ D . 若M为 $\text{[math]}$ 的垂心， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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12. 已知平面向量 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 一定可以作为一个基底 B . $\text{[math]}$ 一定有最小值 C . 一定存在一个实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的夹角的取值范围是 $\text{[math]}$

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五、填空题

13. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， P是线段AD上的动点（与端点不重合），设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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14. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D是边 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若点P满足 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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六、单选题

15. 已知向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 1 C . 0 D . $\text{[math]}$

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16. 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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七、多选题

17. 设向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$

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18. 下列关于平面向量的说法中正确的是（）

A . 已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ； B . 若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆圆心，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 所在平面内一点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的垂心.

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八、填空题

19. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为1的正方形，延长CD至E ，使得 $\text{[math]}$ ．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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20. 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形 $\text{[math]}$ ，其中正六边形边长为1．设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 是平面图形 $\text{[math]}$ 边上的动点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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九、单选题

21. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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22. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 40 B . 48 C . 51 D . 62

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十、多选题

23. 已知向量 $\text{[math]}$ ＝（1，－3）， $\text{[math]}$ ＝（2，－1）， $\text{[math]}$ ＝（m＋1，m－2），若点A ， B ， C能构成三角形，则实数m可以是（　　）

A . －2 B . $\text{[math]}$ C . 1 D . －1

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24. 已知向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .则下列说法正确的是（）

A . 若点P在直线AB上运动，当 $\text{[math]}$ 取得最大值时， $\text{[math]}$ 的值为 $\text{[math]}$ B . 若点P在直线AB上运动， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影的数量的取值范围是 $\text{[math]}$ C . 若点P在以r= $\text{[math]}$ 为半径且与直线AB相切的圆上， $\text{[math]}$ 取得最大值时， $\text{[math]}$ 的值为3 D . 若点P在以r= $\text{[math]}$ 为半径且与直线AB相切的圆上， $\text{[math]}$ 的范围是 $\text{[math]}$

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十一、填空题

25. 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值为.

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26. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 三点共线，则 $\text{[math]}$ .

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十二、单选题

27. 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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28. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 内，已知点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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29. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 1

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30. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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十三、多选题

31. 用下列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 能表示向量 $\text{[math]}$ 的是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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32. 已知平面向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为三个单位向量，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ 的可能取值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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33. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为非零向量，下列说法正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量相等 D . 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点A ， B ， D一定共线

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十四、填空题

34. 若向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 是共线向量，则实数 $\text{[math]}$ =．

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35. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作为平面向量的一个基，则向量 $\text{[math]}$ 可表示为（用 $\text{[math]}$ 表示）.

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36. 在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在线段CB的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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十五、解答题

37. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值.
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38. 如图，在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .
1. （1）用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的大小.
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十六、单选题

39. 设向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若对任意的正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 始终具有固定的方向，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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十七、多选题

40. 设向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，则称 $\text{[math]}$ ；当且仅当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，则称 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则对于任意向量 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则对于任意向量 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$

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十八、填空题

41. 已知对任意平面向量 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 角得到向量 $\text{[math]}$ ，叫做把点 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 沿逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 角得到点 $\text{[math]}$ .现将双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上的每个点 $\text{[math]}$ 绕坐标原点 $\text{[math]}$ 沿逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 后得到曲线 $\text{[math]}$ ，则曲线 $\text{[math]}$ 的方程为．

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十九、解答题

42. 在正四面体ABCD中，P是 $\text{[math]}$ 内部或边界上一点，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：当 $\text{[math]}$ 取最小值时， $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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二十、单选题

43. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的左支交于点A ，与双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线在第一象限交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ （O为坐标原点）.下列四个结论正确的是（）
① $\text{[math]}$ ；
②若 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ；
③ $\text{[math]}$ ；
④ $\text{[math]}$ .

A . ①② B . ①③ C . ①②④ D . ①③④

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〇、多选题

44. 在边长为4的正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 在正方形（含边）内，满足 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上时，则 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$ C . 若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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〇、填空题

45. 如果复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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