湖南省长沙市2018届理数第二次模拟试卷

更新时间：2018-05-17 浏览次数：397 类型：高考模拟

一、<table border=0 cellspacing=0 cellpadding=0 > <tr > <td > <p><b >单选题</b></p> </td> </tr> </table>

1. 若集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则满足 $\text{[math]}$ 的集合 $\text{[math]}$ 的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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2. 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. “ $\text{[math]}$ ”是“直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角大于 $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 已知数列 $\text{[math]}$ 是首项为1，公差为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差 $\text{[math]}$ 不可能是（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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5. 给出关于双曲线的三个命题：
①双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程是 $\text{[math]}$ ；
②若点 $\text{[math]}$ 在焦距为4的双曲线 $\text{[math]}$ 上，则此双曲线的离心率 $\text{[math]}$ ；
③若点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段 $\text{[math]}$ 的中点一定不在此双曲线的渐近线上.
其中正确的命题的个数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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6. 记不等式组 $\text{[math]}$ 所表示的平面区域为 $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 将函数 $\text{[math]}$ 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），得到曲线 $\text{[math]}$ ，若对于每一个旋转角 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 都仍然是一个函数的图象，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在体积为 $\text{[math]}$ 的球内有一个多面体，该多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是 $\text{[math]}$ 的等腰直角三角形，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 我国南宋时期的数学家秦九昭在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式 $\text{[math]}$ 的值的秦九昭算法，即将 $\text{[math]}$ 改写成如下形式： $\text{[math]}$ ，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值．这种算法至今仍是比较先进的算法．将秦九昭算法用程序框图表示如图，则在空白的执行框内应填入（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称，则函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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11. 过正方体 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 作平面 $\text{[math]}$ ，使棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所在直线与平面 $\text{[math]}$ 所成的角都相等，则这样的平面 $\text{[math]}$ 可以作（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ 使定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则对任意 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的零点个数至多有（）

A . 3个 B . 4个 C . 6个 D . 9个

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二、<table border=0 cellspacing=0 cellpadding=0 > <tr > <td > <p><b >填空题</b></p> </td> </tr> </table>

13. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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16. 已知各项都为整数的数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且对任意的 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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三、<table border=0 cellspacing=0 cellpadding=0 > <tr > <td > <p><b >解答题</b></p> </td> </tr> </table>

17. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求边 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一点，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的正弦值．
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18. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：
从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：
1. （1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品 $\text{[math]}$ ”的规定？
2. （2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；
3. （3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值 $\text{[math]}$ 近似满足 $\text{[math]}$ ，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？
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19. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 是平行四边形，侧面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的点，当 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 时，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )的离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是它的左、右焦点，且存在直线 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点恰好是圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的一条直径的两个端点．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 分别相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．试探究：是否存在数集 $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ 时，总存在 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 在以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆内？若存在，求出数集 $\text{[math]}$ ；若不存在，请说明理由．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 都不是曲线 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程是 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）写出曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上运动，若 $\text{[math]}$ 的最小值为1，求 $\text{[math]}$ 的值．
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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