如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点同时停止运动．设运动时间为以．过点作

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1. (2019·衡阳) 如图，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 匀速运动．动点 $\text{[math]}$ 同时从点 $\text{[math]}$ 出发以同样的速度沿 $\text{[math]}$ 的延长线方向匀速运动，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 同时停止运动．设运动时间为以 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于 $\text{[math]}$ ．以 $\text{[math]}$ 为边作平行四边形 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 为直角三角形；
3. （2）是否存在某一时刻 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的平分线上？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值，若不存在，请说明理由；
5. （3）求 $\text{[math]}$ 的长；
7. （4）取线段BC的中点M ，连接PM ，将△BMP 沿直线PM 翻折，得△B^' PM ，连接AB^' ，当t为何值时， AB^' 的值最小？并求出最小值．

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