1. (2016高二下·丹阳期中) 已知椭圆 的左、右焦点分别为F₁、F₂ ， 短轴两个端点为A、B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．

1. （1） 求椭圆的方程；
3. （2） 若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明： 为定值．
5. （3） 在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．