发现如图1，点A为线段BC外一动点，且，填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为用含，的式子表示应用点A为线段BC外一动点，且，如图2所示，分别以，为边，作等边和等边，连接，①请找出图中与相等的线段，并说明理由；②直接

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1. (2020·海淀模拟)
1. （1）发现
  如图1，点A为线段BC外一动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  
  填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为．（用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的式子表示）
3. （2）应用
  点A为线段BC外一动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．如图2所示，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边，作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  
  ①请找出图中与 $\text{[math]}$ 相等的线段，并说明理由；
  
  ②直接写出线段 $\text{[math]}$ 长的最大值．
5. （3）拓展
  如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，点B的坐标为（4，0），点P为线段AB外一动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

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