1. (2020·如东模拟) 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1 ，且 ，设 ，透光区域的面积为S.

1. （1） S关于 的函数关系式，并求出定义域；
3. （2） 根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边AB的长度.