已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为，，点B是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时， .

1. (2020·淄博模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的短轴长为 $\text{[math]}$ ，左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点B是椭圆上位于第一象限的任一点，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆C的标准方程；
3. （2）若椭圆C上点A与点B关于原点O对称，过点B作 $\text{[math]}$ 垂直于x轴，垂足为D，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于另一点M，交y轴于点N.
  （ⅰ）求 $\text{[math]}$ 面积最大值；
  
  （ⅱ）证明：直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 斜率之积为定值.