1. (2017·河南模拟)

我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．

1. （1） 【特例探索】

   如图1，当∠ABE=45°，c=2 时，a=，b=；如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=，b=；

   
   

3. （2） 【归纳证明】

   
   

   请你观察（1）中的计算结果，猜想a² ， b² ， c²三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；

5. （3）

   【拓展应用】

   
   

   如图4，在▱ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2 ，AB=3．求AF的长．