如图，在菱形中，分别过点B作的垂线，过点D作的垂线交于点E.

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1. (2021九上·沙坪坝期末) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，分别过点B作 $\text{[math]}$ 的垂线，过点D作 $\text{[math]}$ 的垂线交于点E.
1. （1）如图1，若 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图2，若 $\text{[math]}$ ，点F是 $\text{[math]}$ 延长线上的一点，点G为 $\text{[math]}$ 延长线上的一点，且 $\text{[math]}$ .连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点H，连接 $\text{[math]}$ .试猜想线段 $\text{[math]}$ 的数量关系并证明你的结论；
5. （3）如图3，在（2）的条件下，在 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，已知Q为直线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最小时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

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