对于数列，记，其中表示这个数中最大的数，并称数列是的“控制数列”，如数列的“控制数列”是 .

1. (2021·房山模拟) 对于数列 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 这 $\text{[math]}$ 个数中最大的数，并称数列 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“控制数列”，如数列 $\text{[math]}$ 的“控制数列”是 $\text{[math]}$ .
1. （1）若各项均为正整数的数列 $\text{[math]}$ 的“控制数列”为 $\text{[math]}$ ，写出所有的 $\text{[math]}$ ；
3. （2）设 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .
  （i）当 $\text{[math]}$ 时，证明：存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是等差数列；
  
  （ii）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值(结果可含 $\text{[math]}$ ).