如图，点分别在矩形的边上，， .点G为上一点，连结交于 .点P从点H匀速运动到终点E，点Q在线段上.记，满足（k为常数，）.

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1. (2021·平阳模拟) 如图，点 $\text{[math]}$ 分别在矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点G为 $\text{[math]}$ 上一点，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ .点P从点H匀速运动到终点E，点Q在线段 $\text{[math]}$ 上.记 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ （k为常数， $\text{[math]}$ ）.
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形.
3. （2）求 $\text{[math]}$ 的长.
5. （3）在点P的运动过程中，当Q为 $\text{[math]}$ 的中点时，点 $\text{[math]}$ 在同一条直线上.
  ①求k的值.
  
  ②过点Q作 $\text{[math]}$ 于点R，连结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，求所有满足条件的 $\text{[math]}$ 的长.

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