如图，在中，，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作的切线，切点为P ，连接．将绕点O按逆时针方向旋转到时，连接．设旋转角为．

1. (2021·新华模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作 $\text{[math]}$ 的切线，切点为P ，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点O按逆时针方向旋转到 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ．设旋转角为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切时，求旋转角 $\text{[math]}$ 和点H运动路径的长；
5. （3）当 $\text{[math]}$ 面积最大时，请直接写出此时点H到 $\text{[math]}$ 的距离．