在正方形中，点E是边上任意一点，连接过点B作于F，交于H.

1. (2020八下·武昌期末) 在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E是 $\text{[math]}$ 边上任意一点，连接 $\text{[math]}$ 过点B作 $\text{[math]}$ 于F，交 $\text{[math]}$ 于H.
1. （1）如图1，过点D作 $\text{[math]}$ 于G.求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图2，点E为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 存在什么数量关系并说明理由；
5. （3）如图3， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长.