已知，在中， .点为边延长线上一动点，过点作于点并交于点，连接 .点是的中点.连接

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1. (2021·重庆模拟) 已知，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 延长线上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 并交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.连接 $\text{[math]}$
1. （1）如图1，小华研究发现 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 有特定的数量关系，请你认真研究.当 $\text{[math]}$ 时，求出 $\text{[math]}$ .
3. （2）在（1）小题的结论下，如图2，在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，当 $\text{[math]}$ 时.式子 $\text{[math]}$ 的值不变.猜想这个值并证明你猜想的结论.
5. （3）在（1）小题的结论下，如图3，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .在 $\text{[math]}$ 的延长线上取点 $\text{[math]}$ .使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，当 $\text{[math]}$ 取得最小值时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

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