1. (2021·九龙坡模拟) 已知抛物线y＝﹣ x²+bx+c经过点A（4，3），顶点为B，对称轴是直线x＝2.

1. （1） 求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；
3. （2） 如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A，C两点重合）；

   （i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；

   （ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由.