在等边中，，，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF.

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1. (2021·重庆) 在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF.
1. （1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG.
  ①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；
  
  ②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且 $\text{[math]}$ ，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当 $\text{[math]}$ 最小时，直接写出 $\text{[math]}$ 的面积.

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