已知等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连 .

1. (2021·十堰) 已知等边三角形 $\text{[math]}$ ，过A点作 $\text{[math]}$ 的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接 $\text{[math]}$ ，把线段 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图1，直接写出线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系；
3. （2）如图2，当点P、B在 $\text{[math]}$ 同侧且 $\text{[math]}$ 时，求证：直线 $\text{[math]}$ 垂直平分线段 $\text{[math]}$ ；
5. （3）如图3，若等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长为4，点P、B分别位于直线 $\text{[math]}$ 异侧，且 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长度.