如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为线段的中点，点Q是线段上一动点（不与点O、A重合）.

1. (2021·鄂州) 如图，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为线段 $\text{[math]}$ 的中点，点Q是线段 $\text{[math]}$ 上一动点（不与点O、A重合）.
1. （1）请直接写出点A、点B、点P的坐标；
3. （2）连接 $\text{[math]}$ ，在第一象限内将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，点O的对应点为点E.若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；
5. （3）在（2）的条件下，设抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为点C.
  ①若点C在 $\text{[math]}$ 内部（不包括边），求a的取值范围；
  
  ②在平面直角坐标系内是否存在点C，使 $\text{[math]}$ 最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由.