材料1：我们把形如（、、为常数）的方程叫二元一次方程.若、、为整数，则称二元一次方程为整系数方程.若是，的最大公约数的整倍数，则方程有整数解.例如方程都有整数解；反过来也成立.方程都没有

当前位置：初中数学 / 实践探究题

1. (2021七下·长寿期末) 材料1：我们把形如 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为常数）的方程叫二元一次方程.若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为整数，则称二元一次方程 $\text{[math]}$ 为整系数方程.若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最大公约数的整倍数，则方程有整数解.例如方程 $\text{[math]}$ 都有整数解；反过来也成立.方程 $\text{[math]}$ 都没有整数解，因为6，3的最大公约数是3，而10不是3的整倍数；4，2的最大公约数是2，而1不是2的整倍数.
材料2：求方程 $\text{[math]}$ 的正整数解.

解：由已知得： $\text{[math]}$ ……①

设 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为整数），则 $\text{[math]}$ ……②

把②代入①得： $\text{[math]}$ .

所以方程组的解为 $\text{[math]}$ ，

根据题意得： $\text{[math]}$ .

解不等式组得0＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ .所以 $\text{[math]}$ 的整数解是1，2，3.

所以方程 $\text{[math]}$ 的正整数解是： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

根据以上材料回答下列问题：
1. （1）下列方程中：① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ ，④ $\text{[math]}$ ，⑤ $\text{[math]}$ ，⑥ $\text{[math]}$ .没有整数解的方程是（填方程前面的编号）；
3. （2）仿照上面的方法，求方程 $\text{[math]}$ 的正整数解；
5. （3）若要把一根长30 $\text{[math]}$ 的钢丝截成2 $\text{[math]}$ 长和3 $\text{[math]}$ 长两种规格的钢丝（两种规格都要有），问怎样截才不浪费材料？你有几种不同的截法？（直接写出截法，不要求解题过程）

微信扫码预览、分享更方便

使用过本题的试卷