如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的平分线于点．

1. (2021八下·桥西期末) 如图， $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的平分线于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的平分线于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系是；
3. （2）探究：线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并加以证明；
5. （3）如图，当点 $\text{[math]}$ 运动到何处时，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，并说明理由；
7. （4）在（3）的前提下，直接写出 $\text{[math]}$ 满足什么条件时，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形．