1. (2021高二下·丹东期末) 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为 ，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为 ，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为 ，如此往复．

1. （1） 求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
3. （2） 记该同学第 天选择米饭套餐的概率为 ．

   （i）证明： 为等比数列；

   （ii）证明：当 时， ．