广东省惠州市2023届高三一模数学试题

更新时间：2023-05-24 浏览次数：109 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2023·惠州模拟) 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ (其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位)，则复数 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . -2 B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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2. (2023·惠州模拟) 设集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的元素个数为（）

A . 3 B . 4 C . 9 D . 无穷多个

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3. (2024高一下·广东期中) 数据 $\text{[math]}$ 的第15百分位数为（）

A . 69 B . 70 C . 75 D . 96

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4. (2023·惠州模拟) 如图1，在高为 $\text{[math]}$ 的直三棱柱容器 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边 $\text{[math]}$ 于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为 $\text{[math]}$ （如图2），则容器的高 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . 4 D . 6

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5. (2023·惠州模拟) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高二下·深圳月考) “家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园．．．．．．”首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在 $\text{[math]}$ 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023·惠州模拟) 已知二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023·惠州模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，如果对 $\text{[math]}$ 中的任意一个 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 为“类奇函数”．若某函数 $\text{[math]}$ 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（）

A . 若0在 $\text{[math]}$ 定义域中，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减 D . 若 $\text{[math]}$ 定义域为 $\text{[math]}$ ，且函数 $\text{[math]}$ 也是定义域为 $\text{[math]}$ 的“类奇函数”，则函数 $\text{[math]}$ 也是“类奇函数”

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二、多选题

9. (2023·惠州模拟) 下列四个命题中为真命题的是（）

A . 若随机变量 $\text{[math]}$ 服从二项分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 已知一组数据 $\text{[math]}$ 的方差是3，则 $\text{[math]}$ 的方差也是3 D . 对具有线性相关关系的变量 $\text{[math]}$ ，其线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，若样本点的中心为 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值是4

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10. (2023·惠州模拟) 若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2023·惠州模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，其中 $\text{[math]}$ 在第一象限，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与 $\text{[math]}$ 轴相切 D . $\text{[math]}$

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12. (2023·惠州模拟) 在如图所示的几何体中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为4的正方形， $\text{[math]}$ 均与底面 $\text{[math]}$ 垂直，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所在平面相交 B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ D . 二面角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上不同两点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2023·惠州模拟) 若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=．

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14. (2023·惠州模拟) 过点 $\text{[math]}$ 的弦 $\text{[math]}$ 将圆 $\text{[math]}$ 的圆周分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则 $\text{[math]}$ ．

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15. (2023·惠州模拟) 函数 $\text{[math]}$ 的非负零点按照从小到大的顺序分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值可以是．（写出符合条件的一个值即可）

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16. (2023·惠州模拟) 已知点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且满足 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为．（结果用 $\text{[math]}$ 表示）．

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四、解答题

17. (2023·惠州模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）记 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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18. (2023·惠州模拟) 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形 $\text{[math]}$ 的顶点在同一平面上，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 长度变化时， $\text{[math]}$ 是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
2. （2）记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的最大值．
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19. (2023·惠州模拟) 如图，在四棱台 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）棱 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ 若存在，求线段 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．
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20. (2023·惠州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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21. (2023·惠州模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ ，且双曲线 $\text{[math]}$ 右支上一动点 $\text{[math]}$ 到两条渐近线 $\text{[math]}$ 的距离之积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线，且 $\text{[math]}$ 分别交两条渐近线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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22. (2023·惠州模拟) 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为 $\text{[math]}$ ，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为 $\text{[math]}$ ，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为 $\text{[math]}$ ，如此往复．
1. （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
2. （2）记该同学第 $\text{[math]}$ 天选择米饭套餐的概率为 $\text{[math]}$ ．
  （i）证明： $\text{[math]}$ 为等比数列；
  
  （ii）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
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