（问题情境）如图①，小区、位于一条笔直的道路的同侧，为了方便，两个小区居民投放垃圾，现在上建一个垃圾分类站，使得与，的距离之比为 .

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1. (2021·玄武模拟) （问题情境）
如图①，小区 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 位于一条笔直的道路 $\text{[math]}$ 的同侧，为了方便 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两个小区居民投放垃圾，现在 $\text{[math]}$ 上建一个垃圾分类站 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离之比为 $\text{[math]}$ .
1. （1）（初步研究）
  在线段 $\text{[math]}$ 上作出点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ .
  如图，做法如下：
  
  第一步：过点 $\text{[math]}$ 作射线 $\text{[math]}$ ，
  
  以 $\text{[math]}$ 为圆心，任意长为半径画弧，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；
  
  以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径画弧，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；
  
  以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径画弧，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .
  
  第二步：连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .
  
  则点 $\text{[math]}$ 即为所求.
  
  请证明所作的点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
3. （2）（深入思考）
  如图，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 外，且 $\text{[math]}$ .
  求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线.
5. （3）（问题解决）
  如图，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .用直尺和圆规完成下列作图.（保留作图痕迹，不写作法）
  （ⅰ）在直线 $\text{[math]}$ 上作出点 $\text{[math]}$ （异于点 $\text{[math]}$ ），使 $\text{[math]}$ ；
  
  （ⅱ）在直线 $\text{[math]}$ 上作出点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ .

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