1. (2020九上·太谷期末) 综合实践

自主探究：

在课堂上，老师指导大家做以下活动：如图1，将已知矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点D落在线段BC上，得到矩形AEFG ， 连接DG交AE于点H ， 在猜想线段HD与HG的关系时，大家一致认为HD=HG ， 并且有两个小组给出如下的证明思路：

奋进组：要想证明HD=HG ， 已经知道线段HG是直角三角形GAH的斜边，所以可以构造一个以HD为斜边的直角三角形，然后证明这两个三角形全等；

勤奋组：要想证明HD=HG ， 可构造一个三角形，使得H、A分别在此三角形的两条边上，再证明HA是这个三角形的中位线；

操作思考：

1. （1） 请你在图1中分别作出符合“奋进组”和“勤奋组”思路需要的辅助线，并将辅助线的做法写在下面的横线上．

   奋进组： ．

   勤奋组： ．

3. （2） 请你根据“奋进组”和“勤奋组”提出的思路和作出的辅助线对下面问题做出选择（      ）

   A . “奋进组”的思路正确，“勤奋组”的思路不正确 B . “勤奋组”的思路正确，“奋进组”的思路不正确 C . “奋进组”和“勤奋组”的思路都正确 D . “奋进组”和“勤奋组”的思路都不正确
5. （3） 变式证明：

   将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点D落在线段CB的延长线上点E处，得到矩形AEFG ， 连接DG交EA的延长线于点H，如图2，那么线段HD与HG还相等吗？说明理由．

7. （4） 将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点C落在线段CB的延长线上点F处，得到矩形AEFG ， 连接DG交EA的延长线于点H ， 且点C、A、G在同一直线上．如图3．问：线段HD与HG还相等吗？如果相等请直接写出 的值；如果不相等，请说明理由．