1. (2020九上·交城期末) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C ， 其顶点为D ， 连接AD ．

1. （1） 求抛物线的函数解析式；
3. （2） 如图①，若点P是线段AD上一个动点，过点P作PE⊥y轴于点E ， 求△PAE面积S的最大值；
5. （3） 如图②，若点M是x轴上一个动点，过M作直线MQ∥BC交抛物线于点Q ， 问抛物线上是否存在点Q ， 使以点B、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．