1. (2021九上·兰州月考) 如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠BAM的平分线，BE⊥AN，垂足为E.已知AD＝4，BD＝3.

1. （1） 求证：四边形ADBE是矩形；
3. （2） 如图2，延长AD至点F，使AF＝AB，连接BF，G为BF的中点，连接EG，DG.求EG的长.
5. （3） 如图3，在（2）问的条件下，P为BE边上的一个动点，连接PG并延长交AD延长线于点Q，连接CQ，H为CQ的中点，求点P从E点运动到B点时，点H所经过的路径长.