人教版初中数学几何辅助线进阶训练——矩形的辅助线（不含相似）

更新时间：2023-05-11 浏览次数：77 类型：复习试卷

一、阶段一（较易）

1. (2023·南充模拟) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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2. (2023八上·平桂期末) 如图，在长方形ABCD中，AB＝8，GC＝ $\text{[math]}$ ， AE平分∠BAG交BC于点E，E是BC的中点，则AG的长为.

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3. (2022九上·高陵期中) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 是两个矩形，点B在 $\text{[math]}$ 边上，若 $\text{[math]}$ ，则矩形 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 6

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4. (2022八上·沈阳期中) 如图，长方形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M是射线BD上一点（不与点B，D重合），连接AM，过点M作 $\text{[math]}$ 交直线BC于点N，若 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，则 $\text{[math]}$ ．

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5. (2022九上·电白期中) 如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．
1. （1）求证：四边形ABCD是矩形；
2. （2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．
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6. (2022九上·长沙期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的中线，点E为AD的中点，作点B关于点E的对称点F，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 为矩形；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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7. (2022八上·洞头期中) 如图，△ABC中，AB=AC，AD为BC上的高线，E为AB边上一点，EF⊥BC于点F，交CA的延长线于点G. 已知EF=2，EG=3. 则AD的长为．

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8. (2022八上·莲湖月考) 已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，EF．
1. （1）如图①，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形；
2. （2）如图②，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长．
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9. (2022九上·温州开学考) 如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，那么△ECD的面积是（）

A . 2 $\text{[math]}$ B . 4 $\text{[math]}$ C . 8 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

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10. (2023八下·内江期末) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点M在边 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、阶段二（一般）

11. (2023七下·杭州月考) 如图，将长方形纸片 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠后，点A，B分别落在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的位置，再沿 $\text{[math]}$ 边将 $\text{[math]}$ 折叠到 $\text{[math]}$ 处，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

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12. (2022九上·五华期中) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E是对角线 $\text{[math]}$ 上一点，有 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，点P是 $\text{[math]}$ 上一动点，则点P到边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离之和 $\text{[math]}$ 的值（）

A . 有最大值a B . 有最小值 $\text{[math]}$ C . 是定值 $\text{[math]}$ D . 是定值 $\text{[math]}$

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13. (2022九上·福州开学考) 矩形 $\text{[math]}$ 与矩形 $\text{[math]}$ 如图放置，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共线，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共线，连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. (2024八下·宜州期中) 如图是一张矩形纸片 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，把 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 度 $\text{[math]}$

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15. (2022八下·宁安期末) AM∥BN，AB $\text{[math]}$ BN，垂足为B，点C在直线BN上，AC $\text{[math]}$ CD，AC=CD，DE $\text{[math]}$ AM，垂足为E．
1. （1）如图①，求证：DE+BC=AB；
2. （2）如图②、图③，请分别写出线段DE，BC与AB之间的数量关系，不需要证明；
3. （3）在（1）、（2）的条件下，AC $\text{[math]}$ =100，AB-BC =2，则线段DE=．
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16. (2022八下·连山期末) 如图，矩形ABCD中， $\text{[math]}$ 交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则CD的值为．

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17. (2022八下·斗门期末) 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为．

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18. (2022八下·高州期末) 如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
1. （1）若∠BAE＝65°，∠DEC＝40°，求∠ECD的度数；
2. （2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
3. （3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证： $\text{[math]}$ ．
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19. (2022八下·南充期末) 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中结论正确的有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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20. (2022八下·金平期末) 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点H，G分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝8，则GH的长度为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 5

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三、阶段三（较难）

21. (2023八下·青秀月考) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 8

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22. (2022八上·沈阳期末) 如图：在平面直角坐标系内有长方形 $\text{[math]}$ ，点A，C分别在y轴，x轴上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点E在 $\text{[math]}$ 上，沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点B与点O重合，点C与点 $\text{[math]}$ 重合．若点P在坐标轴上，且 $\text{[math]}$ 面积是18，则点P坐标为．

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23. (2022九上·农安期中) 阅读下列材料，完成相应任务．

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

如图1，△ABC中， $\text{[math]}$ ， BD是斜边AC上的中线．求证：BD＝ $\text{[math]}$ AC．

分析：要证明BD等于AC的一半，可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2．延长BD到E，使得DE＝BD．

连接AE，CE．可证BE＝AC，进而得到BD＝ $\text{[math]}$ AC．

（1）请你按材料中的分析写出证明过程；
（2）如图3，点C是线段AB上一点，CD⊥AB，点E是线段CD上一点，分别连接AD，BE，点F，G分别是AD和BE的中点，连接FG．若AB＝12，CD＝8，CE＝3，则 $\text{[math]}$ ．

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24. (2022八上·淇滨月考) 如图，在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的动点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的动点．则 $\text{[math]}$ 的是小值是．

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25. (2022八下·昌平期末) 在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，点P是直线AB上一点，且不与点A，点B重合，连接CP，作等边三角形PCE．
1. （1）如图1，若点P在线段AB上，连接DE，则线段PB，DE之间的数量关系是；
2. （2）如图2，若点P在线段AB的延长线上，连接AE，求证：EA＝EP；
3. （3）如图3，若点P在线段BA的延长线上，顺次连接四边形ABCE各边的中点，则所得四边形的形状是．
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26. (2021九上·兰州月考) 如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠BAM的平分线，BE⊥AN，垂足为E.已知AD＝4，BD＝3.
1. （1）求证：四边形ADBE是矩形；
2. （2）如图2，延长AD至点F，使AF＝AB，连接BF，G为BF的中点，连接EG，DG.求EG的长.
3. （3）如图3，在（2）问的条件下，P为BE边上的一个动点，连接PG并延长交AD延长线于点Q，连接CQ，H为CQ的中点，求点P从E点运动到B点时，点H所经过的路径长.
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27. (2021九上·张湾月考) 如图1，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点F，
1. （1）猜想：线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为；
2. （2）探究：若将图1的 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针方向旋转，当 $\text{[math]}$ 小于 $\text{[math]}$ 时，得到图2，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
3. （3）拓展：图1中，过点E作 $\text{[math]}$ ，垂足为点G.当 $\text{[math]}$ 的大小发生变化，其它条件不变时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长.
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28. (2021八下·北京期末) 将一块直角三角板的直角顶点和矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O重合，如图（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．
1. （1）图①（三角板一直角边与OD重合）中，连接DN，则BN与DN的数量关系是，进而得到BN，CD，CN的数量关系是；
2. （2）写出图③（三角板一边与OC重合）中，CN，BN，CD的数量关系是；
3. （3）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．
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29. (2021八下·南充期末) 如图，平行四边形ABCD中，AE⊥CD于E，BF平分∠ABC与AD交于F.AE与BF交于G.
1. （1）延长DC到H，使CH＝DE，连接BH.求证：四边形ABHE是矩形.
2. （2）在（1）所画图形中，在CH的延长线上取HK＝AG，当AE＝AF时，求证：CK＝AD.
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30. (2021八下·余姚竞赛) 如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，N，M分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（）

A . 3 B . 6 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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