舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动.当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动

1. (2021高二上·湖州期中) 舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图， $\text{[math]}$ 是滑槽 $\text{[math]}$ 的中点，短杆 $\text{[math]}$ 可绕 $\text{[math]}$ 转动，长杆 $\text{[math]}$ 通过 $\text{[math]}$ 处的铰链与 $\text{[math]}$ 连接， $\text{[math]}$ 上的栓子 $\text{[math]}$ 可沿滑槽 $\text{[math]}$ 滑动.当点 $\text{[math]}$ 在滑槽 $\text{[math]}$ 内作往复移动时，带动点 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 转动，点 $\text{[math]}$ 也随之而运动.记点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 作切线，则切线长的最大值为．

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