已知函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“不动点”.已知函数 .

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1. (2021高一上·浙江期中) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的一个“不动点”.已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的不动点；
3. （2）若对任意的实数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 恒有两个不动点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
5. （3）在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ 图象上两点 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 的横坐标是函数 $\text{[math]}$ 的不动点，且 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，求实数 $\text{[math]}$ 的最大值.（参考公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的中点坐标为 $\text{[math]}$ .）

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