如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线向终点C运动，点P在边、边上的运动速度分别为、．在点P的运动过程中，过点P作所在直线的垂线，交边或边于点Q，以为一边作矩形，且，与在的同侧．设点P的运动时间为t（秒）

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1. (2021九上·长春期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P从点A出发，沿折线 $\text{[math]}$ 向终点C运动，点P在 $\text{[math]}$ 边、 $\text{[math]}$ 边上的运动速度分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．在点P的运动过程中，过点P作 $\text{[math]}$ 所在直线的垂线，交边 $\text{[math]}$ 或边 $\text{[math]}$ 于点Q，以 $\text{[math]}$ 为一边作矩形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的同侧．设点P的运动时间为t（秒），矩形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求边 $\text{[math]}$ 的长．
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．（用含t的代数式表示）
5. （3）当点M落在 $\text{[math]}$ 上时，求t的值．
7. （4）当矩形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分图形为四边形时，求S与t的函数关系式．

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