数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
例如：
图1，将n行n列的棋子排成一个正方形，我们用两种不同的方法计算棋子的个数：
算法Ⅰ：
类比正方形面积的计算，图形可以看作n行棋子，每行都有n枚，因此棋子的总数是：
n×n＝n2
算法Ⅱ：
沿虚线将图案分割，可以发现：
第一层虚线内有1枚棋子，
第二层虚线内有3枚棋子，
第三层虚线内有5枚棋子…
第n层虚线内有（2n﹣1）枚棋子，
则棋子总数为1+3+5+7+…+2n﹣1
由此可得：1+3+5+7+…+2n﹣1＝n2
如图2，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．请用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论．
算法Ⅰ：
算法Ⅱ：
你发现的结论是．
经过整理，这个结论恰好可以证明我们学过的重要定理．
富比尼原理给我们重要的启发：
从同一个问题的不同角度展开探究，往往会有惊喜地发现．
问题：
n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以这（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．可以用含m、n的代数式表示y吗？
问题探究：
为了解决这个问题，我们先从简单的情况入手：
（一）研究最简单的多边形﹣﹣三角形．
三角形有3个顶点，在它的内部再画m个点，把三角形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形，那么可以用含有m的代数式来表示y吗？
方法Ⅰ：关注要素﹣﹣三角形内部每增加一个点，与最多可以剪得多少个三角形之间的关系．
从n＝3，m＝1开始研究：
当n＝3，m＝1时，最多可以把原三角形剪成3个三角形；
当n＝3，m＝2时，最多可以把原三角形剪成（3+2）个三角形；
当n＝3，m＝3时，最多可以把原三角形剪成（5+2）个三角形；
…
进行从特殊到一般的归纳：
对于一般的情形，在三角形内画m个点，第一个点将三角形分成了3个三角形，三角形内部每增加一个点，可增加个三角形．
故n＝3时，用含有m的代数式表示y＝；
方法Ⅱ：关注要素﹣﹣顶点数对组成三角形的作用．
三角形的三个顶点和它内部的1个点，共4个点，以这4个点为顶点，最多可以组成3个互不重叠的小三角形．
三角形的三个顶点和它内部的2个点，共5个点，以这5个点为顶点，最多可以组成5个互不重叠的小三角形．
三角形的三个顶点和它内部的3个点，共6个点，以这6个点为顶点，最多可以组成7个互不重叠的小三角形．
…
进行从特殊到一般的归纳：
三角形的三个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点，以这（m+3）个点为顶点，最多可以组成个互不重叠的小三角形．
以三角形的三个顶点和它内部的m个点，可把三角形最多剪成个互不重叠的小三角形．
（二）在四边形中研究类似的问题．
四边形有4个顶点，在它的内部再画m个点，把四边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个三角形，那么可以用含有m的代数式来表示y吗？
方法Ⅰ：
对于一般的情形，在四边形内画m个点，第一个点将四边形分成了4个三角形；四边形内部每增加一个点，可增加个三角形．
故n＝4时，用含有m的代数式来表示y：y＝．
方法Ⅱ：
四边形的四个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点，以这（m+4）个点为顶点，最多可以组成个互不重叠的小三角形．
对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过多角度探究、归纳猜想和算两遍方法的验证，可得y＝（用含m、n的代数式表示）．
