如图，在菱形中，与相交于点O，点E在边上，，，垂足分别为点F，点G．

1. (2021八下·莱阳期中) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O，点E在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为点F，点G．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；
3. （2）若点E在边 $\text{[math]}$ 上（不与两端点重合）移动，连接 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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1. (2021八下·莱阳期中) 如图，在菱形中，与相交于点O，点E在边上， ， ， 垂足分别为点F，点G．