如图，在直角三角形中，，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动．设运动时间为，则

1. (2021八下·枣庄期中) 如图，在直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P从A开始沿 $\text{[math]}$ 边向点B以 $\text{[math]}$ 的速度移动，点Q从点B开始沿 $\text{[math]}$ 边向点C以 $\text{[math]}$ 的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动．设运动时间为 $\text{[math]}$ ，则
1. （1）求t为何值时， $\text{[math]}$ 为等腰三角形?
3. （2）是否存在某一时刻t，使点Q在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上?

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