1. (2022·义乌模拟) 如图所示，已知A、B两点坐标分别为（30，0）和（0，30），动点P从A点开始在折线AO—OB—BA上以每秒3个长度单位的速度运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、直线AB交于E、F点.连结FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒.当直线EF经过点B时，点P与直线EF停止运动.

1. （1） 连接PE，t为何值时，四边形APEF为平行四边形？
3. （2） t为何值时，直线EF经过点P？
5. （3） 设经过点F的反比例函数为 ，与AB的另一个交点为G；

   ①当t为何值时，k有最大值，最大值为多少？

   ②请探索从直线EF第一次经过点P起，顺次连接PEGF所得多边形的面积S是否存在最大值，若有请求出最大值及相应t的值，并简要说明理由；若不存在，请说明理由.