已知双曲线的左、右焦点分别为，点为线段的中点，过的直线与的右支交于两点，延长分别与交于点两点，若的离心率为为上一点.

1. (2022·广东模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的右支交于 $\text{[math]}$ 两点，延长 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）已知直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的斜率都存在，分别记为 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.