斜率型定值型问题-2023年高考数学之解密圆锥曲线命题点对点...

更新时间：2022-08-01 浏览次数：46 类型：一轮复习

一、斜率问题

1. (2019高二下·汕头期中) 已知，椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，两个焦点为 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ） $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的两个动点，如果直线 $\text{[math]}$ 的斜率与 $\text{[math]}$ 的斜率互为相反数，证明直线 $\text{[math]}$ 的斜率为定值，并求出这个定值．

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2. (2022高二下·杭州开学考) 已知椭圆C的中心在原点，一个焦点 $\text{[math]}$ ，且长轴长与短轴长的比是 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△PAB面积的最大值．

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3. (2021高二下·温州期末) 如图，已知点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）若直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 恰好为圆 $\text{[math]}$ 的切线，求直线 $\text{[math]}$ 的斜率；

（Ⅱ）求证：直线 $\text{[math]}$ 的斜率为定值.并求出当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时， $\text{[math]}$ 的面积.

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二、斜率之和问题

4. (2022高二下·南宁期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，且椭圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程．
2. （2）不过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，记直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否为定值．若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
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5. (2022·安徽模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上.
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的准线方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，记直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值.
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6. (2021·红桥模拟) 如图，椭圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ .
(I)求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(II)经过点 $\text{[math]}$ ，且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同两点 $\text{[math]}$ （均异于点 $\text{[math]}$ ），

问：直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．

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7. (2021高三上·河南月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的上顶点 $\text{[math]}$ 与下顶点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的两侧，且点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离是 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离的3倍．
（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的值；

（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求证：直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率之和为定值．

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8. (2020高一上·咸阳期末) 已知圆 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 轴相切于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左侧），且 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ）过点 $\text{[math]}$ 任作一条直线与圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值.

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9. (2019高二上·雨城期中) 椭圆C: $\text{[math]}$ (a>b>0)的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，过焦点 $\text{[math]}$ 且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点M（0，-1），直线l经过点N（2，1）且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线MB的斜率为 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ 为定值，并求出该定值.

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10. (2021高二上·天津月考) 已知：点 $\text{[math]}$ 是离心率为 $\text{[math]}$ 的椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上的一点．斜率为 $\text{[math]}$ 的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．

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11. (2020高三上·如东月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的焦距为2，离心率为 $\text{[math]}$ ，右顶点为 $\text{[math]}$ .
（I）求该椭圆的方程；

（II）过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于两个不同点 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率之和为定值.

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三、斜率之差问题

12. (2022·河东模拟) 椭圆C： $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明： $\text{[math]}$ 为定值．
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四、斜率之积问题

13. (2022·赣州模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆C上．
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）若椭圆C的右顶点为B，直线l过定点 $\text{[math]}$ ，且交椭圆 $\text{[math]}$ 于P，Q两点（异于点B），试探究直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率的乘积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
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14. (2020高二上·商河月考) 如图，在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴负半轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．

（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

（Ⅱ）若直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为定值，并求此定值．

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15. 设 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的点且 $\text{[math]}$ 的纵坐标 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

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16. 设 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的点且 $\text{[math]}$ 的纵坐标 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

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五、斜率之商问题

17. (2022·温州模拟) 如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交圆于上下两点A，B，点P为椭圆的右顶点， $\text{[math]}$ 分别交椭圆于E，F，G，记 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）记 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求t的值.
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18. (2022·广东模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的右支交于 $\text{[math]}$ 两点，延长 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的斜率都存在，分别记为 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
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19. (2022·雅安模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为F，长轴长为4，离心率为 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆C交于A，B两点．
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值．
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20. (2022高二下·番禺期末) 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．相交于点M且它们的斜率之积是 $\text{[math]}$ ，记动点M的轨迹为曲线E．过点 $\text{[math]}$ 作直线l交曲线E于P，Q两点，且点P位于x轴上方．记直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 为定值：
2. （2）设点Q关于x轴的对称点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．
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21. (2020高二上·成都月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的长轴长为4，焦距为 $\text{[math]}$
（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ）过动点 $\text{[math]}$ 的直线交 $\text{[math]}$ 轴与点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 在第一象限)，且 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点.过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交 $\text{[math]}$ 于另一点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

（ⅰ）设直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ 为定值；

（ⅱ）求直线 $\text{[math]}$ 的斜率的最小值.

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六、斜率综合问题

22. (2022·怀化模拟) 如图.矩形ABCD的长 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ ，以A､B为左右焦点的椭圆 $\text{[math]}$ 恰好过C､D两点，点P为椭圆M上的动点.
1. （1）求椭圆M的方程，并求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若过点B且斜率为k的直线交椭圆于M､N两点（点C与M､N两点不重合），且直线CM､CN的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，试证明 $\text{[math]}$ 为定值.
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23. (2022·河南模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一点.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程.
2. （2）若过点 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，记直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，试问 $\text{[math]}$ 是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
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