如图1，在中，，，， BD平分的外角，于点D，过B点作交AD于点E.点P在线段AB上（不与端点A点重合），点Q在射线BC上，且，连接 PQ，作P点关于直线BE的对称点N，连接PN，NQ.

1. (2022·乐清模拟) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， BD平分 $\text{[math]}$ 的外角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点D，过B点作 $\text{[math]}$ 交AD于点E.点P在线段AB上（不与端点A点重合），点Q在射线BC上，且 $\text{[math]}$ ，连接 PQ，作P点关于直线BE的对称点N，连接PN，NQ.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ .
3. （2）当Q在线段BC上时，PN与AD交于点H，若 $\text{[math]}$ ，求HP的长.
5. （3） ①当 $\text{[math]}$ 的一边与 $\text{[math]}$ 的AD或BD边平行时，求所有满足条件的t的值.
  ②当点D在 $\text{[math]}$ 内部时，请直接写出满足条件的t的取值范围.