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1. (2022·桐乡模拟) 教材呈现：浙教版八年级下册数学教材第98页的部分内容：

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 就是 $\text{[math]}$ 的一条中位线.我们可得到下面三角形的中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

已知：如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中位线.

求证： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ .

（1）请根据教材内容，结合图1，写出证明过程：
（2）如图2，等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转一周，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对应点分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，在旋转过程中，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 之间的距离会变化吗？若变化，请说明理由，若不变化，请求出这个距离的值；
（3）在（2）的旋转过程中，连结 $\text{[math]}$ 如图3，求 $\text{[math]}$ 度数的取值范围.

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