已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令，并将数列称为的“生成数列”．

1. (2022·延庆模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是由正整数组成的无穷数列，该数列前 $\text{[math]}$ 项的最大值记为 $\text{[math]}$ ，最小值记为 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，并将数列 $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 的“生成数列”．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和；
3. （2）设数列 $\text{[math]}$ 的“生成数列”为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）若 $\text{[math]}$ 是等比数列，证明：存在正整数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是等比数列．